——“谱冯诺依曼代数（spea1bra）”

的变形空间及其高阶同调不变量。

1构造“谱冯诺依曼代数”

及其形变理论：对于一个给定的动力系统（，φ）（是流形，φ是微分同胚），他不再仅仅考虑其作用的函数空间l2（），而是考虑由其koopan算子和与其对偶的transfer算子生成的、作用在某个bo1ev空间上的c-代数。

然后，他通过复杂的循环上同调（cyc1ichoo1ogy）和k-理论工具，研究这个代数的稳定子（stabi1ier）和自同构群。

更重要的是，他系统地研究了这个代数在es意义下的谱三元组（spectra1trip1e）结构下的形变（deforation）空间，特别是那些保持系统遍历性（ergodetg）的形变。

他现，这个形变空间的局部几何（例如，其ariski切空间的维数，或其上某个自然的辛形式的秩）本身就是一个强大的不变量。

2连接精细统计与形变不变量：他建立了上述形变空间的几何不变量与系统统计性质的精细刻画之间的直接联系。

例如，他证明：

·形变空间切空间的维数，控制了系统关联函数衰减率可能达到的最优上界。

维数越高，意味着系统在保持混沌性的前提下，其关联衰减的“度潜力”

越大。

·形变空间上自然辛形式的秩，与系统大偏差原理（rdeviationpr）在零点附近的非解析行为（例如，是否存在相变）密切相关。

·形变空间的高阶同伦群（通过其某种导出栈（derivedstack）结构来定义），包含了关于系统极限定理（如中心极限定理）的收敛度的精细渐近信息，这些信息是经典不变量的线性组合无法捕捉的。

3现“混沌指纹”

与解决刚性猜想：利用这套新理论，他能够明确地构造出一对拓扑共轭、且具有完全相同拓扑熵和李雅普诺夫指数谱的双曲系统，但它们的“谱冯诺依曼代nuber形变空间”

却具有截然不同的几何（例如，一个是光滑的，另一个有奇点；或者它们的辛形式秩不同）。

这意味着，尽管它们在经典意义下“完全相同”

，但其内在的混沌“指纹”

是不同的，从而表现为其关联衰减的极限度、大偏差的细节行为或极限定理的误差项上存在可检测的差异。

这直接否定了动力系统领域一个流传颇广的“强混沌刚性”

猜想，并为进一步对混沌系统进行精细分类提供了强大的理论和工具。

研究过程如同在混沌的湍流中寻找隐藏的秩序，是对耐心和洞察力的极致考验。

先他需要精确地定义他所考虑的“谱冯诺依曼代数”

，并确保其c-代数结构能够有效地反映动力系统的动力学性质。

这要求他对算子代数和动力系统的交叉有深刻的理解。

随后，定义形变空间是另一个巨大的挑战。

他需要界定什么是“允许的”

形变——那些不会破坏系统核心混沌性质的形变。

他最终采用了基于