一个在heegaard分解变化下、在接触结构的形变下都能保持范畴拟等价的传递函子（transferfunctor）系统。

这个过程充满了范畴论的抽象技巧和几何的微妙估计。

同时，他计算了几个关键的例子（如标准的接触球面、某些透镜空间上的紧切触结构），验证他的范畴确实能够区分出l-空间等性质。

构思并尝试证明“范畴障碍原理”

。

这是最考验洞察力的环节。

为什么四维流形的好性质会反映在边界三维流形的范畴性质上？张诚的灵感来源于对带边界流形的指标定理（dextheoreforanifo1ds91ithboundary）的某种“范畴化提升”

的猜想。

他设想，如果x存在好的光滑结构，那么其上的某种dirac算子的指标，应该能够通过边界（y，ξ）的范畴fuk（y，ξ）的某种hochschi1d同调来“计算”

。

而指标的非退化性要求，则迫使fuk（y，ξ）必须满足形式ca1abi-yau等条件。

将这一模糊的直觉转化为严格的数学证明，是极其困难的。

他最初尝试的几种路径都遇到了无法逾越的分析上的困难。

在纯粹数学证明受阻时，他再次求助于物理直觉。

他回顾了规范-引力对偶中关于边界共形场论与体量子引力对应的模糊对应关系。

这使他意识到，或许不需要直接硬碰硬地去证明那个抽象的指标定理提升。

他可以先公理化地定义什么是“好”

的四维流形（例如，要求其允许某个特定的bauer-furuta不变量的稳定化形式），然后直接验证，如果（y，ξ）是此类流形的边界，那么根据fuk（y，ξ）的定义和a∞-范畴的一般理论，其必然满足形式ca1abi-yau等性质。

这相当于绕开了最困难的几何分析，转而利用范畴论的公理和物理对应的“必要性”

来迂回证明。

虽然牺牲了部分“优美”

，但极大地提升了可行性。

采用新的策略后，证明过程虽然依旧技术性极强，但路径变得清晰。

他严格验证了在公理化的“好”

四维流形假设下，边界范畴必须满足的条件。

然后，他利用其理论，系统地扫描了一些已知的紧切触流形，特别是那些经典不变量表现平庸的例子。

结果令人振奋，他确实现了新的障碍！

存在一些（y，ξ），其fuk（y，ξ）范畴表现出一种奇特的“非齐性”

或“不可逆元”

，这直接阻止了它满足形式ca1abi-yau条件，从而从范畴层面宣判了它无法成为“好”

四维流形的边界。

这一现，是传统工具完全无法触及的。

论文标题定为：

《categoretsfrodariestosooth4-anifo1ds:a∞-d》

（《从接触边界到光滑四维流形的范畴障碍：a∞-范畴及其越》）

在摘要和引言中，他强调了其