稀疏结构时，往往显得力不从心，只能给出一些比较粗糙的上下界估计，无法捕捉到其精细的渐近规律。

张诚在达到数学三级后，敏锐地察觉到，这类图的拉普拉斯谱的局部统计性质，可能与某种随机矩阵enseb1e（系综）的统计性质存在深刻的联系！

这是一个大胆的猜想。

因为随机矩阵理论通常描述的是高度无序系统的谱性质，而他所研究的图虽然稀疏，却有着确定性的递归构造规则。

他的创新点，就在于构建了一个巧妙的“局部-全局”

桥接框架，并引入了一个新型的、适用于此类确定性稀疏图的“平均场”

近似方法。

·“局部-全局”

桥接框架：他证明，尽管整个图是无限和稀疏的，但其拉普拉斯算子的re1vent（预解式）的极限行为，可以由一系列有限的、刻画图局部递归结构的“基本单元”

的谱信息，通过一种多重尺度分析来精确决定。

这相当于将复杂的全局谱问题，分解为一系列可处理的局部谱问题，并找到了它们之间精确的“重组”

规则。

·“平均场”

近似方法：他受到统计物理中平均场思想的启，但进行了根本性的改造。

他并非引入真实的随机性，而是构造了一个确定性的、但具有等效统计效应的辅助算子序列。

这个辅助算子序列的谱性质恰好对应于某个已知的随机矩阵系综（例如高斯酉系综gue的某种缩放极限）。

然后，他通过极其精细的算子范数估计和扰动理论，严格证明了在渐近意义下，原始确定性稀疏图的拉普拉斯谱的局部统计（如特征值间距分布），与这个辅助随机矩阵系综的相应统计是重合的！

这无疑是一个惊人的结论！

它揭示了在某些高度结构化的稀疏系统中，确定性动力学可以“涌现”

出随机性的特征，这深刻连接了有序与无序、确定性与概率性这两个看似对立的数学世界。

研究过程同样充满了挑战。

第一天和第二天，他主要精力花在了构建那个“局部-全局”

框架上。

如何定义合适的“基本单元”

？如何刻画它们之间的连接关系并在谱层面进行叠加？这需要深厚的图论功底和对算子理论的深刻理解。

他尝试了几种不同的分解方式，才最终找到了一种既能保持谱信息完整性，又便于进行后续分析的划分方案。

草稿纸上画满了各种奇形怪状的图结构及其分解示意图。

第三天，他转向构建那个关键的“平均场”

辅助算子。

这是最需要灵感的环节。

他需要找到一个数学对象，它既能“模仿”

原稀疏图的局部递归结构，又恰好与某个已被充分研究的随机矩阵模型挂钩。

这仿佛是在两个看似毫不相关的数学领域之间架设一座桥梁。

他反复查阅脑海中关于随机矩阵各种极限定理的细节，对比原图的谱特性，进行大量的试探性构造和计算。

“如果在这里引入一个具有特定方差的高斯权重……不对，这样会破坏图的确定性结构。”<